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韦达定理公式及证明 -j9九游会官方

2014-04-15 09:36:32   来源：网络资源   点击：

        韦达定理公式：

       一元二次方程ax^2 bx c (a不为0)中，设两个根为x和y，

       则：x y=-b/a

       xy=c/a

       韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个n次方程∑aix^i=0

       它的根记作x1,x2…,xn

       我们有

       ∑xi=(-1)^1*a(n-1)/a(n)

       ∑xixj=(-1)^2*a(n-2)/a(n)

       …

       ∏xi=(-1)^n*a(0)/a(n)

       其中∑是求和，∏是求积。

       法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

       由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程

       在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

       其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。


       定理的证明

       设x_1，x_2是一元二次方程ax^2 bx c=0的两个解，且不妨令 x_1 \ge x_2。根据求根公式，有

       x_1=\frac{-b \sqrt {b^2-4ac}}，x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}

       所以

       x_1 x_2=\frac{-b \sqrt {b^2-4ac} \left (-b \right) - \sqrt {b^2-4ac}} =-\frac，

x_1x_2=\frac{ \left (-b \sqrt {b^2-4ac} \right) \left (-b - \sqrt {b^2-4ac} \right)}{\left (2a \right)^2} =\frac
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